Кутова роздільна здатність

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Роздільна здатність.

Дифракційні картини Ейрі, утворені світлом від двох точкових джерел, що проходить крізь круглу апертуру, наприклад зіницю ока. Точки, розташовані далеко одна від одної (вгорі) або на межі за критерієм Релея (посередині), можна розрізнити. Точки, розташовані ближче за межу критерію Релея (внизу), розрізнити важко.

Кутова роздільна здатність описує здатність будь-якого пристрою для отримання зображень — такого як оптичний або радіотелескоп, мікроскоп, фотоапарат чи людське око — розрізняти дрібні деталі об'єкта, що робить її одним з основних чинників роздільної здатності зображення. Це поняття використовують в оптиці для світлових хвиль, у теорії антен для радіохвиль, в акустиці для звукових хвиль. Її характеризують найменшою кутовою відстанню θ між об'єктами, які прилад ще може розрізнити як окремі джерела. Роздільна здатність приладів обмежена, як фундаментальними фізичними законами (наприклад, дифракцією світла), так і недосконалістю приладу. Критерій Релея показує, що кут θ обмежений дифракцією та визначається відношенням довжини хвилі до ширини апертури. З цієї причини системи з високою роздільною здатністю, зокрема астрономічні телескопи, далекофокусні телефотооб'єктиви та радіотелескопи, мають великі апертури.

Критерій Релея

Роздільна здатність системи для отримання зображень може обмежуватися або абераціями, або дифракцією, що спричиняє розмивання зображення. Ці два явища мають різну природу й не пов’язані між собою. Аберації пояснюються в межах геометричної оптики і, в принципі, можуть бути зменшені підвищенням оптичної якості системи. Натомість дифракція зумовлена хвильовою природою світла й визначається скінченною апертурою оптичних елементів. Апертура круглої лінзи є двовимірним аналогом однощілинного експерименту. Світло, проходячи крізь лінзу, інтерферує саме з собою, утворюючи кільцеподібну дифракційну картину, відому як диск Ейрі, якщо вважати хвильовий фронт переданого світла сферичним або плоским на вихідній апертурі.

Взаємодію дифракції та аберацій можна охарактеризувати за допомогою функції розсіювання точки. Що вужча апертура лінзи, то ймовірніше, що функція розсіювання точки визначається дифракцією. У такому разі кутову роздільну здатність оптичної системи можна виразити через діаметр апертури та довжину хвилі світла за критерієм, сформульованим лордом Релеєм: два точкові джерела вважаються гранично розрізненими, коли головний дифракційний максимум (центр) диска Ейрі одного зображення збігається з першим мінімумом диска Ейрі іншого зображення, як показано на зображеннях праворуч. Якщо відстань більша — дві точки добре розрізняються; якщо менша — їх вважають нерозрізненими. Релей обґрунтовував цей критерій для джерел однакової інтенсивності.

Для дифракції на круглій апертурі цей критерій дає:

$\theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{D}}\quad ({\text{за умови}}\,\sin \theta \approx \theta )$

де θ — кутова роздільна здатність (у радіанах), λ — довжина хвилі світла, а D — діаметр апертури лінзи. Множник 1,22 випливає з обчислення положення першого темного кільця навколо центрального диска Ейрі дифракційної картини. Точніше це число дорівнює 1,21966989… (послідовність A245461 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS), тобто першому нулю функція Бесселя першого роду порядку один $J_{1}(x)$, поділеному на π.

Формальний критерій Релея близький до емпіричної межі роздільної здатності, знайденої раніше англійським астрономом Вільямом Дейвсом, який тестував спостерігачів на тісних подвійних зорях однакової яскравості. Отриманий результат, θ = 4,56/D, де D подано в дюймах, а θ — у кутових секундах, дещо вужчий за значення, обчислене за критерієм Релея. Розрахунок із використанням дисків Ері як функції розсіювання точки показує, що на межі Дайвса спостерігається зменшення інтенсивності між двома максимумами на 5%, тоді як за критерієм Релея — на 26,3%. Сучасні методи обробки зображень, зокрема деконволюція функції розсіювання точки, дають змогу розрізняти подвійні об’єкти з іще меншою кутовою відстанню.

У малокутовому наближенні кутову роздільну здатність можна перетворити на просторову роздільну здатність, Δℓ, помноживши кут (у радіанах) на відстань до об’єкта. Для мікроскопа ця відстань близька до фокусної відстані f об’єктива. У цьому випадку критерій Релея має вигляд:

$\Delta \ell \approx 1.22{\frac {f\lambda }{D}}$.

Це радіус у площині зображення найменшої плями, в яку може бути сфокусований колімований пучок світла, що також відповідає розміру найменшого об’єкта, який здатна розрізнити лінза. Розмір пропорційний довжині хвилі λ; отже, наприклад, синє світло можна сфокусувати в меншу пляму, ніж червоне. Якщо лінза фокусує пучок світла зі скінченними розмірами (наприклад, лазерний пучок), значення D відповідає діаметру світлового пучка, а не лінзи. Оскільки просторова роздільна здатність обернено пропорційна D, це приводить до дещо несподіваного результату: широкий пучок світла може бути сфокусований у меншу пляму, ніж вузький. Цей результат пов’язаний з фур’є-властивостями лінзи.

Подібний результат справджується і для малого сенсора, що знімає об’єкт на нескінченності: кутову роздільну здатність можна перетворити на просторову на сенсорі, використавши f як відстань до сенсора зображення. Це пов’язує просторову роздільну здатність зображення з діафрагмовим числом, f/#:

$\Delta \ell \approx 1.22{\frac {f\lambda }{D}}=1.22\lambda \cdot (f/\#)$.

Оскільки це радіус диска Ейрі, роздільну здатність доцільніше оцінювати за діаметром, $2.44\lambda \cdot (f/\#)$

Окремі випадки

Логарифмічний графік залежності між діаметром апертури й кутовою роздільною здатністю на дифракційній межі для різних довжин хвиль світла у порівнянні з різними астрономічними інструментами. Наприклад, синя зірка показує, що космічний телескоп «Габбл» у видимому діапазоні майже досягає дифракційної межі з роздільною здатністю близько 0,1 кутової секунди, тоді як червоне коло показує, що людське око теоретично має роздільну здатність близько 20 кутових секунд, хоча на практиці зазвичай лише близько 60 кутових секунд.

Телескоп

Точкоподібні джерела, розділені кутом, меншим за кутову роздільну здатність, неможливо розрізнити. Окремий оптичний телескоп може мати кутову роздільну здатність менше однієї кутової секунди, однак астрономічне бачення та інші атмосферні ефекти значно ускладнюють досягнення таких значень.

Кутову роздільну здатність R телескопа зазвичай можна наближено оцінити формулою

$R={\frac {\lambda }{D}}$

де λ — довжина хвилі спостережуваного випромінювання, а D — діаметр об’єктива телескопа. Отримане значення R подається в радіанах. Наприклад, для жовтого світла з довжиною хвилі 580 нм для досягнення роздільної здатності 0,1 кутової секунди потрібен телескоп з D ≈ 1,2 м. Джерела, розміри яких перевищують кутову роздільну здатність, називають протяжними або дифузними, а менші за неї вважають точковими.

Цю формулу для світла з довжиною хвилі близько 562 нм також називають межею Дейвса.

Однією з одиниць вимірювання кутової роздільної здатності в умовах гаусового розсіювання, зумовленого астрономічним баченням, є "діаметр на півпотужності", тобто кутовий діаметр, у межах якого зосереджена половина потужності, зібраної телескопом.

Масив телескопів

Найвищих значень кутової роздільної здатності в астрономії досягають за допомогою масивів телескопів, відомих як астрономічні інтерферометри. Такі інструменти можуть забезпечувати кутову роздільну здатність порядку 0,001 кутової секунди в оптичному діапазоні та значно вищу — у рентгенівському. Для виконання апертурного синтезу необхідна велика кількість телескопів, розміщених у двовимірній конфігурації з просторовою точністю, кращою за частку (приблизно 0,25×) від довжини хвилі.

Кутову роздільну здатність R інтерферометричного масиву зазвичай можна наближено оцінити як

$R={\frac {\lambda }{B}}$

де λ — довжина хвилі спостережуваного випромінювання, а B — найбільша фізична відстань між телескопами масиву, так звана "база" інтерферометра. Отримане значення R подається в радіанах. Наприклад, щоб отримати зображення в жовтому світлі з довжиною хвилі 580 нм і роздільною здатністю 1 кутової мілісекунди, необхідно розмістити телескопи в масиві розміром приблизно 120 м × 120 м із просторовою точністю, кращою за 145 нм.

Мікроскоп

Роздільна здатність R (тут вимірювана як лінійна відстань; не слід плутати з кутовою роздільною здатністю з попереднього підрозділу) залежить від кутової апертури $\alpha$:

$R={\frac {1.22\lambda }{\mathrm {NA} _{\text{condenser}}+\mathrm {NA} _{\text{objective}}}}$, де $\mathrm {NA} =n\sin \theta$.

Тут NA — числова апертура, $\theta$ — половина повного кута $\alpha$ лінзи, який залежить від її діаметра та фокусної відстані; $n$ — показник заломлення середовища між лінзою та зразком; $\lambda$ — довжина хвилі світла, що освітлює зразок або випромінюється ним (у разі флуоресцентної мікроскопії).

Звідси випливає, що для досягнення максимальної роздільної здатності числові апертури як об’єктива, так і конденсора мають бути якомога більшими. Якщо обидві NA однакові, формулу можна спростити до:

$R={\frac {0.61\lambda }{\mathrm {NA} }}\approx {\frac {\lambda }{2\mathrm {NA} }}$

Практична межа для $\theta$ становить близько 70°. Для «сухого» об’єктива або конденсора це відповідає максимальній NA ≈ 0,95. У високороздільних імерсійних (олієзанурних) об’єктивах максимальна NA зазвичай сягає 1,45 при використанні імерсійної олії з показником заломлення 1,52. Через ці обмеження гранична роздільна здатність світлового мікроскопа, що працює у видимому світлі, становить приблизно 200 нм. З огляду на те, що найкоротша довжина хвилі видимого світла відповідає фіолетовому ($\lambda \approx 400\,\mathrm {nm}$),

$R={\frac {1.22\times 400\,{\mbox{nm}}}{1.45\ +\ 0.95}}=203\,{\mbox{nm}}$

що близько до 200 нм.

Імерсійні об’єктиви мають певні практичні труднощі через малу глибину різкості та надзвичайно коротку робочу відстань, що потребує використання дуже тонких (0,17 мм) покривних скелець або, у разі інвертованого мікроскопа, тонкостінних чашок Петрі зі скляним дном.

Однак роздільної здатності, вищої за цю теоретичну межу, можна досягти за допомогою надроздільної мікроскопії. До таких методів належать оптичні ближні поля (сканувальний оптичний мікроскоп ближнього поля) або дифракційна методика мікроскопії 4Pi STED. Обома підходами вдавалося розрізняти об’єкти розміром до 30 нм. Окрім цього, локалізаційна мікроскопія з фотоактивацією (PALM) також дає змогу розрізняти структури таких розмірів і водночас забезпечує отримання інформації у напрямку z (тривимірна зйомка).

Див. також

• Дифракційна межа
• Гострота зору
• Оптична роздільна здатність

Посилання

• "Concepts and Formulas in Microscopy: Resolution" by Michael W. Davidson, Nikon MicroscopyU.