Música e matemática

Um espectograma das ondas de um violino, com a frequência linear no eixo vertical e o tempo no horizontal

A matemática e música se vinculam desde a Antinguidade. Os teóricos da música buscam entender a estrutura musical, analisar a altura, ritmo e estruturas da música e comunicar novas maneiras de ouvir melodias. Para isso, podem utilizar da matemática para estudar elementos musicais, como andamento, progressão musical, forma musical e métrica. Isso levou a aplicações musicais da teoria dos conjuntos, álgebra abstrata e teoria dos números. Os estudiosos da música também usaram a matemática para entender as escalas musicais, e alguns compositores incorporaram a proporção áurea e o número de Fibonacci em seu trabalho.

História

Antiguidade

A matemática e música se vinculam desde a Antinguidade. Na Antiguidade, China, Índia, Egito e a Mesopotâmia estudaram os princípios do som matematicamente. É atribuído a Pitágoras o experimento do monocórdio, em que se estabeleceu uma relação entre intervalos musicais e razões de uma corda. Os Pitagóricos, em especial Filolau de Crotona e Arquitas de Tarento, da Grécia Antiga foram os primeiros a investigar como expressar as escalas musicais em razões. A ideia central era de que "toda natureza consistia em uma ascensão harmônica de números". A música ocidental passou a ser compreendida sob um aspecto matemático-especulativo.

Desde o tempo te Platão, a harmonia era considerada como fundamental na área da física e, atualmente, é conhecida como acústica musical. Teóricos da Índia e China Antiga apresentavam abordagens similares, concordando que as leis de frequência de ressonância e de ritmo eram fundamentais não só para a compreensão do mundo, mas para a compreensão do próprio ser humano. Confúcio, assim como Pitágoras, afirmava que os números 1, 2, 3 e 4 eram a fonte de toda perfeição.

Idade Média e Renascimento

No final do século XV e no início do século XVI, fortaleceu-se teorias aritméticas que apontavam para um sentindo mais amplo da geometria, aproximando-se mais para a aritmética e se afastando dos estudos de Pitágoras para solucionar problemas em música teórica. No final da Idade Média e no Renascimento, coexistiam a aritmética com a geometria na teoria musical. Nesse período, houve diversas traduções de trabalhos de Euclides, Arquimedes e Ptolomeu, além de diversos desenvolvimentos Foi nesse período em que Erasmus Horicius publicou um tratado que lidava com o conceito de razão como uma quantidade contínua sob um contexto musical.

Relações entre música e matemática

Conexões com a teoria dos conjuntos

Ver artigo principal: Teoria dos conjuntos

A teoria musical dos conjuntos usa alguns dos conceitos da teoria matemática dos conjuntos para organizar os objetos musicais e descrever suas relações.

Para analisar a estrutura de uma peça musical (tipicamente de atonal) usando a teoria musical dos conjuntos, começa-se geralmente com um conjunto de sons, que podem formar motivos ou acordes. Aplicando operações simples como transposição e inversão descobre-se estruturas profundas na música. Esse tipo de operação é chamado de isometria, porque preserva os intervalos entre sons num conjunto.

Em particular, o matemático e o musicólogo Guerino Mazzola utilizou da teoria dos conjuntos como base para a teoria musical, incluindo o uso da topologia como base para as teorias de ritmo e motivo, e a aplicação da geometria diferencial como suporte para a teoria de andamento e entonação.

Conexões com a álgebra abstrata

Ver artigo principal: Álgebra abstrata

Partindo dos métodos da teoria musical dos conjuntos, muitos teóricos expandiram para o uso da álgebra abstrata na análise musical. Por exemplo, as notas em uma oitava de temperamento igual formam um grupo abeliano com 12 elementos. É possível descrever o temperamento justo em termos de um grupo abeliano livre.

Alguns teóricos propuseram aplicações musicais de conceitos algébricos mais sofisticados. O matemático Guerino Mazzola aplicou a teoria topos à música, mas o resultado é controvertido.

A escala cromática tem uma ação livre e transitiva de $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$, com a ação sendo definida via transposição de notas. Logo, a escala cromática pode ser vista como um torsor para o grupo $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$. Também há uma associação com teoria dos corpos.

Conexões com a teoria dos números

Ver artigo principal: Teoria dos números

A interpretação moderna do temperamento justo é inteiramente baseada no teorema fundamental da aritmética.

Acredita-se que alguns compositores escreveram sua música usando a proporção áurea e os números de Fibonacci para auxiliá-los. Para o ouvinte, no entanto, não é possível determinar o quanto esse uso é intencional ou inconsciente.

Ernő Lendvai analisa os trabalhos de Béla Bartók como baseados em dois sistemas opostos: a proporção áurea e a escala acústica. Em Música para cordas, percussão e celesta, a progressão do xilofone no começo do terceiro movimento ocorre nos intervalos 1:2:3:5:8:5:3:2:1. O compositor francês Eric Satie usou a proporção áurea em Sonneries de la Rose Croix e outra peças, o que deu a sua música um senso de simetria.

A proporção áurea é notada também na organização das seções da música Reflets dans l'eau de Images pour piano, de Claude Debussy, organizada segundo intervalos de 34, 21, 13 e 8 (uma sequência de Fibonacci descendente), e o clímax se situa na posição φ.

A proporção áurea e o número de Fibonacci

Ver artigos principais: Proporção áurea e Sequência de Fibonacci

Acredita-se que alguns compositores escreveram sua música usando a proporção áurea e os números de Fibonacci para auxiliá-los. Para o ouvinte, no entanto, não é possível determinar o quanto esse uso é intencional ou inconsciente.

Ernő Lendvai analisa os trabalhos de Béla Bartók como baseados em dois sistemas opostos: a proporção áurea e a escala acústica. Em Música para cordas, percussão e celesta, a progressão do xilofone no começo do terceiro movimento ocorre nos intervalos 1:2:3:5:8:5:3:2:1. O compositor francês Eric Satie usou a proporção áurea em Sonneries de la Rose Croix e outra peças, o que deu a sua música um senso de simetria.

A proporção áurea é notada também na organização das seções da música Reflets dans l'eau de Images pour piano, de Claude Debussy, organizada segundo intervalos de 34, 21, 13 e 8 (uma sequência de Fibonacci descendente), e o clímax se situa na posição φ.

Sistemas de afinação

Uma escala musical é uma sequência discreta de sons usados para fazer ou descrever música. A escala tem um intervalo de repetição, normalmente a oitava. Isto significa que para cada nota na escala temos um som correspondente uma oitava acima e uma oitava abaixo, apesar dos limites do ouvido humano para eles. Como estamos geralmente interessados nas relações ou razões entre as alturas conhecidas como intervalos e não nas alturas precisas em si mesmas para descrever a escala, é comum nos referirmos a todas as alturas da escala em termos de sua razão a partir de uma altura particular, à qual é dada o valor um (escrita geralmente 1/1 quando se discute a entonação justa). Esta nota pode, mas não necessariamente, ser uma que funcione como tônica da escala. Para afinações que usam números irracionais (i.e., temperamentos), ou para comparação do tamanho de intervalos, usa-se geralmente os cents.

Entonação justa

Nota	Razão	Intervalo
0	1:1	uníssono
1	135:128	segunda menor
2	9:8	segunda maior
3	6:5	terça menor
4	5:4	terça maior
5	4:3	quarta perfeita
6	45:32	trítono diatônico
7	3:2	quinta justa
8	8:5	sexta menor
9	27:16	sexta maior
10	9:5	sétima menor
11	15:8	sétima maior
12	2:1	oitava

Matemática das escalas musicais

Muitos povos e culturas criaram suas próprias escalas musicais. Um exemplo foi o povo chinês, que partiu da experiência de Pitágoras (utilizando cordas).

Eles tocaram a nota Dó em uma corda esticada e depois dividiram essa corda em 3 partes. O resultado dessa divisão foi a nota Sol. Ao observar que essas notas possuíam uma harmonia entre si, eles repetiram o procedimento a partir dessa nota Sol, dividindo novamente esse pedaço de corda em 3 partes, resultando na nota Ré. Essa nota matinha uma harmonia agradável com a nota Sol e também com a nota Dó. Esse procedimento foi então repetido a partir da nota Ré, dando origem à nota Lá. Depois, partindo de Lá, chegou-se à nota Mi.

Quando eles repetiram esse procedimento de dividir em 3 partes a corda mais uma vez, dando origem à nota Si, houve um problema, pois a nota Si não soava muito bem quando tocada junto com a nota Dó (a primeira nota do experimento). De fato, essas notas eram muito próximas uma da outra, o que causava um certo desconforto sonoro. Por isso, os chineses terminaram suas divisões obtendo as notas Dó, Sol, Ré, Lá e Mi, deixando a nota Si de lado. Essas notas serviram de base para a música chinesa, formando uma escala de 5 notas (Pentatônica). Essa escala pentatônica, por ser agradável e consonante, representou muito bem a cultura oriental, que sempre foi pautada na harmonia e estabilidade.

Frequência e altura

Percepção

Nota	Frequência (Hz)	Frequência Distância da nota anterior	Log frequência log2 f	Log frequência Distância da nota anterior
lá2	110.00	N/A	6.781	N/A
lá2#	116.54	6.54	6.864	0.0833 (or 1/12)
si2	123.47	6.93	6.948	0.0833
dó2	130.81	7.34	7.031	0.0833
dó2#	138.59	7.78	7.115	0.0833
ré2	146.83	8.24	7.198	0.0833
ré2#	155.56	8.73	7.281	0.0833
mi2	164.81	9.25	7.365	0.0833
fá2	174.61	9.80	7.448	0.0833
fá2#	185.00	10.39	7.531	0.0833
sol2	196.00	11.00	7.615	0.0833
sol2#	207.65	11.65	7.698	0.0833
lá3	220.00	12.35	7.781	0.0833

Identidade harmônica	Nome comum	Exemplo	Múltiplo de Freq. Fundamental	Razão (esta identidade/última oitava)
1	Fundamental	lá2 - 110 Hz	1x	1/1 = 1x
2	Oitava	lá3 - 220 Hz	2x	2/1 = 2x (also 2/2 = 1x)
3	Quinta Perfeita	mi3 - 330 Hz	3x	3/2 = 1.5x
4	Oitava	lá4 - 440 Hz	4x	4/2 = 2x (also 1x)
5	Terça Maior	dó#4 - 550 Hz	5x	5/4 = 1.25x
6	Quinta Perfeita	mi4 - 660 Hz	6x	6/4 = 1.5x
7	"Sétima Perfeita"	sol#4 - 770 Hz	7x	7/4 = 1.75x
8	Oitava	lá5 - 880 Hz	8x	8/4 = 2x (also 1x)

Identidade Harmônica	Nome comum	Ponto Linear Escala Exponential	Ponto Linear Escala Normalizada (linear)
1	fundamental	1/1 = 1x	log2(1.0) = 0.00
2	oitava	2/1 = 2x	log2(2.0) = 1.00
3	quinta perfeita	3/2 = 1.5x	log2(1.5) = 0.585
4	oitava	4/2 = 2x	log2(2.0) = 1.00
5	terça maior	5/4 = 1.25x	log2(1.25) = 0.322
6	quinta perfeita	6/4 = 1.5x	log2(1.5) = 0.585
7	"sétima perfeita"	7/4 = 1.75x	log2(1.75) = 0.807
8	oitava	8/4 = 2x	log2(2.0) = 1.00

Ver também

• Temperamento igual
• Harmônico
• Intervalo (música)
• Acústica Musical
• Afinação Musical
• Física da Música
• Frequências de afinação do piano
• Escala musical

Ligações externas

• Journal of Mathematics & Music, ed. Thomas Noll and Robert Peck
• Database of all the possible 2048 musical scales in 12 note equal temperament and other alternatives in meantone tunings
• Article by Adriaan Daniël Fokker analysing 31-tet and the harmonic identities
• Website for Musimathics book. Contains a table of content
• Music, Mathematics, Philosophy and tuning
• Google Scholar Search for 'music and mathematics'
• The method for transformation of music into an image through numbers and geometrical proportions
• Twelve-Tone Musical Scale.
• Sonantometry or music as math discipline.
• Music: A Mathematical Offering by Dave Benson.
• Nicolaus Mercator use of Ratio Theory in Music at Convergence
• LucyTuning, a musical tuning, harmonic, and scalecoding system derived from pi, and the writings of John Harrison
• Descomplicando a Música